Exercice et Problèmes

EP.2.1. : Mesure de la profondeur d'un puits

On laisse tomber à l'instant $t_{0}=0$, sans vitesse initiale, une pierre dans un puits de profondeur $h.$ La durée de la chute est $t_{1}=7\ s$.

1. Calculer la profondeur $h$ du puits ainsi que la vitesse avec laquelle la pierre atteint le fonds du puits.

2. Sachant que la vitesse $u$ du son dans l'air est de $340\ m/s$, au bout de combien de temps, après avoir laché la pierre, entend-on le bruit de son choc au fonds du puits ?

On donne l'accélération de la pesanteur $:g=9,8\ ms^{-2}$

Solution

 

EP.2.2. : Jeu de tennis

Pour effectuer un "service", un joueur de tennis lance une balle verticalement vers le haut à partir d'un point $O$ situé à $1,60\ m$ au dessus du sol et la frappe avec sa raquette lorsqu'elle atteint le sommet $A$ de sa trajectoire situé $1,40\ m$ plus haut. La balle part alors avec un vitesse MATH horizontale et doit passer au dessus d'un filet de hauteur $0,90\ m$. La distance du joueur au filet est de $12\ m$.

On assimile la balle à un point matériel et on néglige la résistance de l'air.

1. Déterminer la vitesse avec laquelle le joueur lance la balle verticalement.

2. Etablir l'équation de la trajectoire de la balle après le choc sur la raquette dans le référentiel lié à la terre et d'axe ascendant $Ay$.

3. Déterminer la valeur de $V_{0}$ pour que la balle passe à $10\ cm$ au dessus du filet ainsi que la direction du vecteur vitesse $\overrightarrow{V}$ de la balle lors de ce passage.

Solution

 

EP.2.3. : Mouvement circulaire en coordonnées polaires

Un point M décrit, avec une vitesse angulaire $\omega _{0}$ constante, un cercle de centre $C$ et d'équation polaire MATH.

1. Déterminer, dans la base polaire ( MATH), les vecteurs vitesse $\overrightarrow{V}$ et accélération MATH. Donner leurs normes.

2. Montrer que le vecteur accélération est colinéaire à MATH.

Solution

 

EP.2.4. : Mouvement sinusoïdal

Une particule $M$ en mouvement suivant l'axe MATH a une accélération proportionnelle à sa distance au point $O$ : MATH.

1. Décrire le mouvement de $M$ et déterminer ses principales caractéristiques.

2. Tracer les courbes $x(t)$, $V(t)$ et $\gamma (t)$ représentant l'élongation, la vitesse et l'accélération de la particule en fonction du temps.

Solution

 

EP.2.5. : Hodographe d'un mouvement

\addcontentsline{toc}{section}{EP.2.5.: Hodographe d'un mouvement}

Un point M est en mouvement uniforme dans le référentiel $R(xOy)$ avec une vitesse $\overrightarrow{V}$ dépendante du temps.

A l'instant initial, le point $M$ est en $O$ et le vecteur vitesse est dirigé suivant l'axe $Ox$.

Déterminer la trajectoire de $M$ sachant que l'hodographe $(H)$ du mouvement est un cercle de rayon $a$, de centre $C$ situé sur l'axe $Ox$ à la distance $a$ de $O$, décrit à la vitesse angulaire $\omega $ constante.


Figure

Solution

 

EP.2.6. : Mouvement parabolique

Un point $M$ se déplace dans le plan $xOy$ sur une trajectoire d'équation :

$x=t$

MATH

1. Tracer le graphe $y=f(x)$ représentant la trajectoire.

2. Déterminer les composantes de la vitesse $\overrightarrow{V}$ et de l'accélération MATH dans le référentiel $R(Oxy)$. En déduire leurs modules $V$ et $\gamma $. Tracer l'hodographe du mouvement.

3. Déterminer les composantes tangentielle $\gamma _{T}$ et normale $\gamma _{N}$ de MATH. En déduire le rayon de courbure $\Re $ en tout point de la trajectoire.

Solution

 

EP.2.7. : Mouvement cycloïdal

Dans le plan vertical $xOy$ une roue de bicyclette de centre $C$ et de rayon $R$, roule sans glisser le long de l'axe $Ox$ avec une vitesse angulaire MATH constante.

A l'instant $t=0$, la valve $M$, supposée ponctuelle, est en $O$. On désigne par $I$ le point de la roue en contact avec $Ox$ à l'instant $t$.
Figure

1. Ecrire la condition de roulement sans glissement.

Déterminer les coordonnées cartésiennes de $M$ et tracer la courbe représentative de la trajectoire de $M$.

2. Déterminer les composantes de son vecteur vitesse $\overrightarrow{V}$ et montrer que $\overrightarrow{V}$ est perpendiculaire à $IM$.

3. Déterminer les composantes cartésiennes du vecteur accélération MATH ainsi que ses composantes normale $\gamma _{N}$ et tangentielle $\gamma _{T}$. En déduire le rayon de courbure en tout point $M$.

Solution

 

EP.2.8. : Mouvement sur une demi-cardioïde

Un point matériel $M$ décrit, dans le plan horizontal $xOy$, une demi-cardioïde $(C)$ d'équation polaire :

MATH

où a est une constante, $\theta =\omega t$ avec MATH et $\omega $ est une constante

1. Tracer, à l'aide de quelques points particuliers, l'allure de la trajectoire.

2. Exprimer le vecteur vitesse $\overrightarrow{V}$ du point M dans la base polaire MATH. Donner son module et en déduire la longueur $\ell $ de la trajectoire.

3. Exprimer, dans la même base, le vecteur accélération MATH du point $M$. Calculer son module ainsi que ses composantes tangentielle $\gamma _{T}$ et normale $\gamma _{N}$. En déduire le rayon de courbure $R$ de la trajectoire $(C)$.

Solution

 

EP.2.9. : Mouvement sur une spirale

Un point matériel $M$ décrit, dans le plan horizontal $xOy$, avec une vitesse uniforme $v_{0}$, une spirale logarithmique $(C)$ d'équation polaire :

MATH

MATH et MATH, $a$ et $\omega $ sont des constantes positives.

1. Tracer l'allure de la trajectoire.

2. Exprimer le vecteur vitesse $\overrightarrow{v}$ du point $M$ dans la base polaire MATH Donner son module et en déduire la longueur $\ell $ de la trajectoire.

3. Exprimer, dans la même base, le vecteur accélération MATH du point $M$. En déduire le rayon de courbure $\Re $ de la trajectoire $(C)$.

Solution

 

EP.2.10. : Mouvement hélicoïdal

Un point matériel $M$ est animé d'un mouvement dont les équations en coordonnées cartésiennes dans un référentiel $R(Oxyz)$ sont :

$x=a\sin \omega t$

MATH

$z=h\omega t$
$a$, $h$ et $\omega $ sont des constantes positives et $t$ le temps.

1. Soit $A$ la projection de $M$ sur le plan $xOy$. Ecrire l'équation de la trajectoire de $A$ et la représenter.

2. Déterminer les coordonnées cylindriques de $M$ et en déduire la nature de la trajectoire. Représenter son allure.

3. Déterminer, dans la base cylindrique, les vecteurs vitesse $\overrightarrow{V}$ et accélération MATH de $M$.

4. Quelles sont alors les expressions de $\overrightarrow{V}$ et MATH dans la base de Frenet ?

5. Déterminer le rayon de courbure de la trajectoire.

Solution


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