Exercice et Problèmes

EP.6.1. : Gerbe de particules

On lance, à l'instant initial, de l'origine O d'un référentiel galiléen R(Oxy) dont l'axe MATH est horizontal et l'axe MATH vertical, des points matériels $M_{i}$ ayant tous la même masse $m$ et dont les vecteurs vitesses initiales MATH ont tous le même module $V_{\QTR{small}{0}}$ et sont tous contenus dans le plan XOY avec des orientations différentes. Ces points matériels sont soumis, outre leurs poids, à des forces de frottement fluide MATH, le coefficient $k$ étant constant.

1. Déterminer les coordonnées $x_{i}$ et $y_{i}$ de chaque point $M_{i}$.

2. Montrer qu'à un instant t donné, tous les points $M_{i}$ sont situés sur un cercle dont on donnera le centre et le rayon.

Solution

 

EP.6.2. : Gerbe de particules

Soit un pendule constitué de deux boules métalliques, respectivement de masses m et M, de rayons $r_{\QTR{small}{1}}$ et $r_{\QTR{small}{2}}$, reliées entre elles par une tige de masse négligeable. Ce pendule est suspendu en un point O à un plan horizontal.

1. Déterminer le moment d'inertie du pendule par rapport à un axe passant par O.

2. Le pendule est écarté légèrement de sa position d'équilibre d'un angle $\theta $

a. Ecrire l'équation du mouvement du pendule et en déduire sa période d'oscillation pour les angles $\theta $ faibles,

b. Calculer la période du pendule simple synchrone de ce pendule composé.

Solution

 

EP.6.3. : Régulateur à boules

On considère un losange articulé OABC, constitué de quatre barres rigides, de masse négligeable et de même longueur $\ell $. Les sommets O et B sont situés sur un même axe vertical $\Delta $, O étant fixe et B pouvant glisser sur cet axe. On note $\alpha $ l'angle formé par la barre OA et l'axe $\Delta $.

On fixe en B une masse ponctuelle $m$ et, en A et C, deux masses ponctuelles identiques $M$.

On fait tourner le losange autour de l'axe $\Delta $ avec une vitesse angulaire constante $\omega $ et on néglige tout frottement.

Soit R $(Oxyz)$ le référentiel tournant lié au losange, dont l'axe MATH est confondu avec l'axe $\Delta $.
Figure

1. Calculer le moment en O des forces appliquées au système dans R.

2. Déterminer l'angle $\alpha $ pour lequel le losange est en équilibre relatif dans R. En déduire la valeur minimale de la vitesse de rotation $\omega $ pour avoir cet équilibre.

Solution

 

EP.6.4. : Système de deux poulies

On considère deux solides $S_{\QTR{small}{1}}$ et $S_{2}$, de masses $M_{\QTR{small}{1}}$ et $M_{\QTR{small}{2}}$, reliés par un fil inextensible de masse négligeable passant par deux poulies identiques P $_{\QTR{small}{1}}$ et P $_{\QTR{small}{2}}$ de rayon $r$, de masse $m$ et de moment d'inertie $I$ par rapport à leur axe.
Figure

Le système, abandonné à lui-même sans vitesse initiale, se met en mouvement de sorte que $S_{\QTR{small}{1}}$ tire le fil vers le bas.

1. Etablir l'expression de l'accélération $\gamma $ de $S_{\QTR{small}{1}}$.

2. Discuter le résultat obtenu suivant le rapport entre $M_{\QTR{small}{1}}$ et ( MATH).

Solution

 

EP.6.5. : Tabouret d'inertie

Un enfant assis sur un tabouret pouvant tourner parfaitement autour d'un axe vertical $\Delta $ passant par son centre, tient dans ses deux mains deux haltères de masses $m$. Le tabouret, initialement immobile, subit une rotation à la vitesse angulaire MATH Soit $d_{\QTR{small}{1}}$ la distance des haltères à l'axe de rotation lorsque l'enfant a les bras tendus (état initial) et $d_{\QTR{small}{2}}$ cette distance lorsque l'enfant ramène les haltères contre sa poitrine (état final).
Figure

1. Calculer le moment cinétique initial et final du système par rapport à l'axe $\Delta $.

2. En déduire la période de rotation finale $T_{\QTR{small}{2}}$ du tabouret tournant. Calculer $T_{\QTR{small}{2}}$ si le tabouret s'est mis initialement à tourner à raison de $1$ $tour$ $par$ $seconde$ et que MATH et MATH.

Solution

 

EP.6.7. : Principe du yoyo

Le yoyo est un jeu d'enfant qui est constitué d'une bobine formée d'un petit cylindre C de rayon r et de masse négligeable portant à ses extrémités deux disques cylindriques D $_{\QTR{small}{1}}$ et D $_{\QTR{small}{2}}$ identiques de rayon R et de masse m. Les deux disques et le cylindre ont même axe de rotation $\Delta $. Sur le cylindre peut s'enrouler, sans glissement et sans frottement, une ficelle de masse négligeable.
Figure

1. Déterminer l'accélération linéaire du yoyo dans son mouvement de chute verticale.

2. Déterminer la tension MATH de la ficelle.

On donne : MATH, $\ r=0,5\ cm$, $\ R=5\ cm$, $\ m=0,1\ kg.$

Solution

 

EP.6.7. : Etoile double

Les deux composantes d'une étoile double sont assimilées à deux points matériels $M_{\QTR{small}{1}}$ et $M_{\QTR{small}{2}}$ de masse $m_{\QTR{small}{1}}$ et $m_{\QTR{small}{2}}$ s'attirant suivant la loi de la gravitation universelle. L'ensemble est considéré isolé du reste de l'Univers.

1. Quel est le mouvement du centre d'inertie C du système par rapport à un référentiel galiléen ?

2. Ecrire les équations vectorielles du mouvement de chaque composante dans le référentiel galiléen ayant pour origine C et ramener l'étude de ces mouvements à celle d'un point fictif P convenablement choisi.

3. En appliquant la formule de Binet au point fictif P, trouver l'équation du mouvement de $M_{\QTR{small}{1}}$ et $M_{\QTR{small}{2}}$. Décrire leur trajectoire.

4. L'étoile double est Sirius. On observe que chaque composante décrit autour de G une ellipse de période $T=50\ ans$. Les demi-grands axes de ces ellipses sont respectivement :

MATHet MATH

Déterminer les masses des deux composantes en prenant comme unité la masse du Soleil.

On rappelle que l'unité astronomique $u.a$. est égale au rayon de l'orbite terrestre autour du Soleil assimilée à un cercle.

Solution

 

EP.6.8. : Mouvement d'une corde

Soit une corde infiniment fine, homogène, de masse linéique $\mu $ cons-tante. Cette corde est sans raideur, c'est-à-dire que, non tendue, elle peut être déformée par une action faible. On la suppose dans la suite tendue, par un dispositif adéquat, avec une tension MATH.

Au repos, la corde se confond avec l'axe MATH qui correspond donc à sa position d'équilibre. On étudie les petits mouvements transversaux de la corde dans le plan xOy, ce qui signifie qu'un petit élément $d\ell $ de corde situé au point $M_{\QTR{small}{0}}$ d'abscisse $x$ lorsque la corde est au repos, se retrouve au point $M$ de même abscisse $x$ et d'ordonnée $y(t,x)$ lorsqu'elle est en mouvement.

La tangente à la corde au point $M$ fait avec l'axe des x un angle $\alpha (t,x)$ supposé petit.

On néglige l'action de la pesanteur sur la corde ainsi que toute cause d'amortissement des mouvements.

1. Montrer que l'équation du mouvement d'un petit élément de la corde est :

MATH

2. Quelle est la signification physique de cette équation et quel phénomène traduit-elle ?

Solution

 

EP.6.9. : Tamis automatique

On considère une plaque rectangulaire P rigide, homogène, percée de petits trous et de longueur AA' et d'épaisseur $e$ négligeable, reposant perpendiculairement sur les génératrices de deux cylindres identiques C et C' parallèles et ho-rizontaux. Les génératrices de contact sont distantes de $BB^{\prime }=2a$. Soient O le milieu de BB' et ( $xOy)$ le plan vertical perpendiculaire à la plaque et d'axe MATH parallèle à la droite AA'. Les cylindres C et C' tournent autour de leurs axes avec des vitesses angulaires égales et opposées.
Figure

Les coefficients de frottements entre la plaque P et les cylindres C et C' sont respectivement $\mu $ et $\mu ^{\prime }$ et sont indépendants de la vitesse.

La plaque est animée d'un mouvement d'oscillation de translation le long de l'axe MATH.

1. Calculer les composantes normales R $_{\QTR{small}{N}}$ et R' $_{\QTR{small}{N}}$ et tangentielles R $_{\QTR{small}{T}}$ et R' $_{\QTR{small}{T}}$ des réactions exercées par C et C' sur P respectivement en B et B', en fonction de $a,$ du poids $mg$ de la plaque et de l'abscisse $x=OG$ de son centre de gravité G $.$

2. Ecrire l'équation différentielle que vérifie $x(t)$.

A l'instant initial, on a MATH et $V=\dot{x}=0$. Montrer que, si MATH, le mouvement de la plaque est sinusoïdal. Déterminer sa pulsation.

Solution

 

EP.6.10. : Vibrations moléculaires

On considère un système de deux points matériels M $_{\QTR{small}{1}}$ et M $_{2}$ de masses respectives $m_{\QTR{small}{1}}$ et $m_{\QTR{small}{2}}$ reliés par un ressort de masse négligeable, de raideur $k$ et de longueur $\ell $ au repos. Le système est en équilibre sur un plan horizontal et les mouvements s'effectuent sans frottement le long de l'axe MATH .
Figure

A l'instant $t=0$, on rapproche les deux points matériels de sorte que la distance MATH soit réduite de moitié, puis on les lâche sans vitesse initiale.

1. Déterminer le mouvement du centre de masse G du système par rapport à un point fixe O quelconque du plan.

2. Montrer que, par rapport à un référentiel d'inertie, le mouvement relatif des deux particules est équivalent au mouvement d'une particule fictive unique, de masse la masse réduite du système et soumise à la force s'exerçant entre les deux points matériels.

3. En posant MATH et MATH, déterminer la relation entre MATH et MATH

4. Déterminer l'équation différentielle du mouvement de $M_{\QTR{small}{2}}$ et en déduire ses caractéristiques ainsi que son équation horaire MATH En déduire MATH.

5. Application :

Le système étudié modélise les vibrations des atomes dans une molé-cule diatomique. Calculer, dans le cas de la molécule de HCl, la raideur du ressort vecteur de l'interaction entre les atomes de chlore et d'hydrogène sachant que la fréquence de vibration $N$ est égale à :

MATH MATH.

On donne : MATH, MATH

Solution


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